MATEMÁTICA - FRAÇÕES

          

 

 

 


 
TUDO SOBRE FRAÇÕES


TUDO SOBRE FRÇÕES - AULA SOBRE FRAÇÕES


De modo simples, pode-se dizer que uma fração de um número, representada de modo genérico como \frac{a}{b}, designa o inteiro dividido em b partes iguais ao qual usa-se o número a de partes. Neste caso, a corresponde ao numerador, enquanto bcorresponde ao denominador, que não pode ser igual a zero.[1]

O denominador corresponde ao número de partes que um todo será dividido e o numerador corresponde ao número de partes que serão consideradas. Ex.: Uma professora tem que dividir três folhas de papel de seda entre quatro alunos, como ela pode fazer isso?

Cada aluno ficara com 3:4=\frac{3}{4} da folha, ou seja você vai dividir cada folha em 4 partes e distribuir 3 para cada aluno.

Por exemplo, a fração \frac{56}{8} designa o quociente de 56 por 8. Ela é igual a 7, pois 7 × 8 = 56. A divisão é, note-se, a operação inversa da multiplicação.

Os números expressos em frações são chamados de números racionais. O conjunto dos racionais é representado por \mathbb Q. Fração é a representação da parte de um todo (de um ou mais inteiros), assim podemos considerá-la como sendo mais uma representação de quantidade, ou seja, uma representação numérica, com ela podemos efetuar todas as operações como: adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação, radiciação.

Dessa forma, toda fração pode ser representada em uma reta numerada, por exemplo, 1/2 (um meio) significa que de um inteiro foi considerada apenas a sua metade, portanto, podemos dizer que em uma reta numerada a fração 1/2 estará entre os números inteiros 0 e 1.

 Tipos de Frações

  • própria: o numerador é menor que o denominador. Ex.: \frac{1}{2}

  • imprópria: o numerador é maior que o denominador. Ex.: \frac{9}{5}

  • mista: constituída por uma parte inteira e uma fracionária. Ex.: 2 \frac{1}{3}.Pode-se encontrar uma fração imprópria a partir do número misto: 3\frac{1}{2} 2x3=6 6+1=7 (7=numerador/2=denominador)e assim por diante repetindo o denominador

  • aparente: é quando o numerador é múltiplo ao denominador. Ex.: \frac{4}{4}

  • equivalentes: aquelas que mantêm a mesma proporção de outra fração. Ex.: \frac{4}{4} = \frac{2}{2} 4 e 4 dividos por 2(ou outro número) é igual a 2.

  • irredutível: o numerador e o denominador são primos  entre si, não permitindo simplificação. Ex.: \frac{9}{22}

  • unitária: o numerador é igual a 1 e o denominador é um inteiro positivo. Ex.: \frac{1}{3}

  • egípcia: fração que é a soma de frações unitárias, distintas entre si. Ex: {\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{15}} = \frac{3}{5}

  • decimal: o denominador é uma potência de 10(100,1000,10000…). Ex.: \frac{437}{1000}

  • composta: fração cujo numerador e denominador são frações: \frac{\frac{19}{15}}{\frac{5}{6}}

  • contínua: fração constituída a partir de uma sequência de inteiros naturais  (a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{k} ) da seguinte maneiraa_{0} + \frac{1}{ a_{1}+ \frac{1}{ a_{2} \dots \frac{1}{a_{k-1} + \frac{1}{a_{k}}} } }

 Exponenciação ou Potenciação

É indiferente resolver primeiro a exponenciação ou a divisão:

{\left ( \frac{1}{2} \right )^2} = {{1}^{2} \over {2}^{2}} = {\frac{1}{4}} = 0,25

Efetuando-se primeiramente a divisão obtém-se o mesmo resultado:

{\left ( \frac{1}{2} \right )^2} = {({0,5})^{2}} = 0,25

Também é comum nos números comuns, a qual resolve-mos primeiro as potencias seguidas de parênteses e logo depois as operações. Bem melhor será pensar que as frações são números comuns por ele pelas vezes ditas no expoente. 2/2 + 2ª=2/2 + 4= 1+4=5

Radiciação

A raiz de uma fração é feita seguindo-se os mesmos passos da potenciação.

{\sqrt[2]\frac{1}{4} = {\sqrt[2]{1}\over\sqrt[2]{4}} = {{1}\over{2}}} = 0,5

Expoente fracionário

Da mesma forma que na, divisão entre frações, a ocorrência de expoente fracionário causa a inversão da operação:

8^{{2} \over {3}} = \sqrt[3]{8^{2}} = \sqrt[3]{64} = {4}

ou pode ser feita assim multiplicação

Simplificação de frações

Uma fração pode ser simplificada quando numerador e denominador não são primos entre si. Ex.:

\frac{4}{8}

Para tanto basta dividi-los pelo máximo divisor comum (MDC) entre eles, obtendo-se uma fração que, além de manter a proporção da original, é do tipo irredutível:

{{\frac{4:4}{8:4}}} = {{1} \over {2}}

 Comparação entre frações

Uma propriedade importante para se comparar frações é a seguinte:

Se \frac{a}{b}\, e \frac{c}{d}\, são frações irredutíveis, com abc e d inteiros positivos, então \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \implies a = c \land b = d\,.

Para estabelecer comparação entre frações, é preciso que elas tenham o mesmo denominador. Isso é obtido através do menor múltiplo comum, como foi visto na adição.

\frac{2}{5}   ?   \frac{3}{7}

O MMC entre 5 e 7 é 35.

{35 \over {5}} = {7}       7 \times {2} = {14}

{35 \over {7}} = {5}       5 \times {3} = {15}

A comparação entre frações com denominadores diversos vale-se do fato de que há frações que são equivalentes entre si, pois:

\frac{14}{35} = \frac{2}{5}    e   \frac{15}{35} = \frac{3}{7}

Uma vez igualados os denomidores,pode-se fazer a comparação entre as frações:

{\frac{14}{35}}  < {\frac{15}{35}}  logo {\frac{2}{5}}  < {\frac{3}{7}}

 Conversão entre frações impróprias e mistas

Uma fração do tipo imprópria pode ser convertida para mista e vice-versa.

\frac{7}{3}

Para tanto, basta dividir o numerador pelo denominador. O resto será o numerador da fração mista e o divisor será o denominador. Como o quociente da divisão 7 ÷ 3 é igual a 2 e o resto é 1, tem-se que a fração acima, escrita como fração mista, terá a seguinte notação:

2 \frac{1}{3}

Para fazer o caminho inverso, basta multiplicar o denominador pela parte inteira e somar o resultado ao numerador, mantendo-se o denominador. Como o produto 3 × 2 é igual a 6 e a soma 6 + 1 é igual a 7, obtém-se novamente a notação sob a forma de fração imprópria, como visto acima.

Corpo de Frações

Se um conjunto A tem duas operações binárias + e x satisfazendo determinadas propriedades, pode-se perguntar em que condições é possível estender A para um outro conjunto B com operações binárias + e x, de forma que (B,+,x) seja um corpo e as operações (A+B) e (AxB) dêem o mesmo resultado quando efetuadas em A ou em B. Quando possível, temos a construção do corpo de frações.

Por: Wikipédia

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